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Commençons par une anecdote :
Un riche marchand allemand du XVe siècle, suffisamment enrichi pour faire donner une instruction commerciale à son fils, alla un jour consulter un éminent spécialiste pour savoir à quelle institution il fallait confier le jeune homme. Réponse renversante de l’expert :
« Si vous voulez vous contenter de ne lui faire apprendre que la pratique des additions et des soustractions, alors n’importe quelle université allemande ou française fera l’affaire. Par contre, si vous tenez à pousser son instruction jusqu’à la multiplication ou à la division, si tant est qu’il en soit capable, alors il vous faudra l’envoyer dans les écoles italiennes. »

La pratique des opérations arithmétiques n’était pas à la portée de tout le monde en ce temps-là.
Elle représentait un art obscur et complexe, et constituait le domaine réservé d’une caste privilégiée de spécialistes, à qui de longues et fastidieuses études transmettaient l’usage mystérieux, et bien compliqué, des vieux abaques à jetons des romains.

note du site: une caste? pourtant tous les changeurs, commerçants, intendants, receveurs... manipulent, par necessité, l'abaque. Peut on parler de caste??? L'analyse reste cependant valable sur les méthodes de calcul.

Il fallait à un étudiant plusieurs années d’études assidues et en général les vicissitudes d’un long voyage pour maîtriser les mystères de la multiplication et de la division.
Une multiplication qu’un enfant exécute aujourd’hui en quelques minutes demandait alors à des spécialistes beaucoup plus de temps d’un travail extrêmement délicat.
La situation restera d’ailleurs inchangée jusqu’aux XVIIe et XVIIIe siècles dans les administrations de la vieille Europe conservatrice, ce qui nous le verrons plus tard constituera un frein au développement des techniques modernes de calcul.

On ne connaît pas encore en France, ni en Europe occidentale, les chiffres arabes !
Donc le seul moyen de faire des calculs, c’est d’utiliser l’abaque romain.

Gerbert d’Aurillac, né vers 938, est d’abord novice au couvent de Saint-Géraud, où il apprend tout ce qu’on peut lui enseigner. Son supérieur, conscient de son intelligence exceptionnelle, l’envoie en Catalogne au monastère de Santa Maria de Ripoll qui a servi d’intermédiaire entre les mondes chrétien et musulman. C’est là, qu’il apprend le système de numération et les méthodes de calcul d’origine indienne.
Une autre version de l’histoire veut que, pour son initiation au calcul indo-arabe, Gerbert d’Aurillac soit allé lui-même jusqu’à Séville, à Fès et à Cordoue, et qu’il se soit introduit dans les universités arabes sous le déguisement d’un pèlerin musulman. Quoi qu’il en soit, il possède alors une connaissance parfaite des chiffres indo-arabe et de leur numération. Sa sagesse et ses capacités diplomatiques font qu’il se fait de nombreux amis. Après avoir été archevêque de Reims, il devient pape en 999 sous le nom de Sylvestre II et meurt en 1003. C’est bien lui qui est à l’origine de l’introduction des chiffres indo-arabes en Europe occidentale.
Des chiffres, mais pas tous les chiffres, neuf seulement ! Pas de zéro (bien que les arabes le connaissent à cette époque, et qu’il a du certainement le voir en Espagne), ni aucune des méthodes de calcul d’origine indienne.
Pourquoi ? L’initiative de Gerbert s’est heurtée à une grande résistance, due essentiellement au conservatisme des peuples chrétiens, qui se sont « agrippés » à la numération et aux méthodes de calcul romaine.

Mais l’échec ne fut pas total. Car en inventant un nouveau modèle d’abaque, Gerbert introduisit les neuf chiffres inscrits sur des jetons appelés apices (prononcez « apicèsses »). Gerbert mit au point un abaque qui simplifiait les abaques romains classiques, en remplaçant les jetons à valeur d’unité simple par un jeton unique en corne sur lequel fut portée l’indication du nombre correspondant au moyen des neuf chiffres indo-arabes. Jeton que l’on désigna sous le nom d’apex au singulier et d’apices au pluriel et qui reçurent chacun un nom individuel.
1 : Igin
2 : Andras (nom d’origine grecque)
3 : Ormis
4 : Arbas (nom d’origine arabe)
5 : Quimas (nom d’origine latine)
6 : Caltis
7 : Zenis
8 : Temenias (nom d’origine latine)
9 : Celentis

De 1095 à 1270, les croisades permirent aux Européens un nouveau contact massif avec les Arabes. C’est par centaines que les savants allaient côtoyer la culture arabe, les outils de calculs des mathématiciens, les chiffres indo-arabes, la numération de position, l’existence du zéro et les méthodes de calcul.
Ironie de l’histoire, tandis que les princes et les chevaliers essayaient par le glaive d’imposer leur religion et leurs traditions aux « infidèles, certains clerc de la suite des croisés apprirent le calcul écrit à la manière indo-arabe. Progressivement, l’abacus de Gerbert tomba en désuétude. Peu à peu, les chiffres furent tracés sur le sable ou la poussière au lieu d’être gravés sur des jetons de corne, entraînant du même coup la disparition des colonnes de l’abaque. D’où un calcul aux méthodes plus simples, plus pratiques, que l’on désigna sous le nom d’algorisme, en référence au nom d’Al-Khuwarizmi, le premier savant du monde musulman à en avoir vulgarisé l’usage. Ce que Gerbert d’Aurillac n’avait pas réussi à faire, deux ou trois siècles plus tôt, les guerres contre les « infidèles » permirent de le réaliser.

Ce n’est qu’avec le développement de l’imprimerie (après le milieu du XV e siècle) que la forme des chiffres se fixera pour avoir la forme qu’ils ont actuellement.
C’est aussi avec le développement de l’imprimerie que les livres traitant des calculs, des mathématiques vont pouvoir se diffuser.

Au XIIIe siècle, la bataille entre les algoristes (partisans du calcul avec les chiffres indo-arabes) et les abacistes (partisans du calcul sur abaque) était loin d’être gagnée par les premiers. Un certains nombre de calculateurs, enfermés dans des routines imprégnées des numérations et des règles archaïques, continuaient à prôner l’usage de l’abaque à jetons.

Simon Jacob (mort à Francfort en 1564) au sujet du calcul sur abaque :
« Il est vrai qu’il apparaît de quelque avantage dans les calculs domestiques, où il faut souvent sommer, soustraire ou ajouter, mais dans les calculs de l’art, un peu compliqués, il est souvent embarrassant. Je ne dis pas que l’on puisse faire sur les lignes [de l’abaque] ces calculs, mais tout l’avantage qu’a un piéton libre et sans charge sur celui qui est lourdement chargé, le calcul avec les chiffres l’a sur le calcul avec les lignes … »

1) Une progression lente des quelques ouvrages traduits
Le Liber abaci de Leonardo Fibonacci de son vrai nom Léonard de Pise (1202)
Carmen de Algorismo (adaptation de l’ouvrage d’Al-Khuwarizmi par Alexandre de Villedieu vers 1240
Algorismus vulgaris de Jean de Sacrobosco (alias John of Halifax) vers 1250
Ces trois ouvrages n’ont pu circuler que sous forme de manuscrits pendant près de deux siècles, ce qui en limitait le « tirage ».
D’autre part, en certaines régions, il était interdit d’utiliser les chiffres arabes (ex : conseil de Florence en 1299)

2) Jusqu’au 17e ou au 18e siècle peu de gens savaient lire et écrire.
Ne sachant pas lire, ils n’avaient pas accès aux livres exposant le nouveau calcul et du même coup aux chiffres arabes.
Ne sachant pas écrire, ils n’étaient pas intéressés par le calcul à la plume.
De plus, le symbole 0 devait gêner beaucoup de gens du peuple.

3) Le papier vraiment bon marché n’est apparu qu’au 19e siècle, or pour le calcul à la plume il fallait du papier qui jusque là était trop cher parce que fabriqué d’une manière non industrielle.

4) Le calcul à la plume a longtemps été inconfortable
On effectuait les calculs par étapes, en écrivant des chiffres que l’on biffait à l’étape suivante. Il a fallu attendre plusieurs siècles pour qu’apparaissent les procédures modernes « avec retenues » et donc sans biffage, et donc qu’on passe sans réticence au calcul à la plume et du même coup aux chiffres arabes qu’il impose.

5) Surtout, la monnaie n’est pas décimale
Il faut 12 deniers pour un sou et 20 sous pour une livre tournoi (ou franc). Les commerçants et les banquiers n’avaient pas forcément accès aux universités où l’on enseignait le nouveau mode de calcul.

Note du site: et alors? ils ont justement bersoin d'une méthode simple de calcul. De plus, en examinant le gros, on voit que la numération décimale devait être utilisée. N'oublions pas non plus que la Grande breratgne est restée au système impérial jusqu''au XXe siècle sans problème.

6) Question de pouvoir
Les calculateurs professionnels de l’époque, qui pratiquaient les opérations sur l’abaque à jetons, formaient une puissante caste placée sous la haute protection de l’Eglise. Voulant garder pour eux les secrets de cet art, et voyant leur gagne-pain menacé, ils ne voulurent pas entendre parler de cet algorisme révolutionnaire qui mettait l’arithmétique à la portée de n’importe qui.

Note du site: là j'aimerai bien avoir des sources?????????? Qui sont d'ailleurs ces calculateurs professionnels dont on parle?

7) Des raisons idéologiques
L’Eglise avait le contrôle de la science et de la philosophie. Elle exigea donc que leur évolution restât strictement soumise à la foi absolue en ses dogmes et que leur étude se consacrât en complète harmonie avec la théologie.
Ainsi certaines autorités ecclésiastiques firent-elles courir le bruit que pour être si facile, si ingénieux, le calcul à la manière arabe devait sûrement avoir quelque chose de magique, voire de démoniaque ; il ne pouvait provenir que du diable lui-même ! De là à envoyer des algoristes trop zélés au même bûcher que les sorcières et les hérétiques, il n’y eut qu’un pas que certains inquisiteurs ne manquèrent pas de franchir, par endroits.
Gerbert lui-même n’échappa pas à cet esprit d’arrière garde ; on en vint à murmurer qu’il fut alchimiste et sorcier et qu’en allant goûter à la science des « infidèles sarrazins », il avait sûrement dû vendre son âme à Lucifer. Grave accusation qui poursuivra le savant homme durant de nombreux siècles. Au point qu’en 1648 l’autorité pontificale jugera nécessaire de faire ouvrir le tombeau de Sylvestre II pour vérifier si les diables de l’enfer ne l’habitaient pas encore … !

On se trouve confronté à un véritable veto ecclésiastique et à une levée de boucliers de la part de la caste des calculateurs professionnels. Veto qui sera maintenu en divers endroits jusqu’au XVe siècle. Il semble bien que l’Eglise ne veuille pas favoriser une démocratisation du calcul qui entraînerait sûrement pour elle une perte de monopole en matière d’enseignement et par conséquebt une perte de pouvoir et d’influence. Le calcul sur l’abaque à jetons continuera à être pratiqué par les commerçants, les financiers, les banquiers et les argentiers, et il faudra attendre la Révolution française pour assister à l’abolition définitive de ces méthodes archaïques ; en effet elle interdira l’usage de l’abaque dans les écoles et les administrations !

972-982 : Lors d’un voyage en Espagne, le moine auvergnat Gerbert d’Aurillac (qui deviendra pape en 999 sous le nom de Sylvestre II) s’initie aux chiffres « arabes » et les introduit en Europe occidentale

Xe - XIIe siècle : les calculateurs européens effectuent leurs opérations arithmétiques sur l’abaque à colonnes d’origine latine, perfectionné par Gerbert d’Aurillac et ses disciples : ils utilisent pour cela des jetons de corne (appelé apices), marqués chacun de l’un des chiffres « arabes » de 1 à 9 (ou de lettres numérales grecques de " à 2 , ou encore des chiffres romains de I à IX)

XIIe siècle : Introduction du signe-zéro d’origine indienne en Europe occidentale : les calculateurs européens effectuent désormais leurs opérations arithmétiques au moyen du zéro et des neuf chiffres « indo-arabes » : c’est l’apparition des algorismes, comme on appellera alors les règles de calcul écrit d’origine indienne.

XIIe - XV° siècle : Epoque où les chiffres « arabes » se stabilisent graphiquement en Europe occidentale pour donner naissance à la forme définitive qu’ils ont actuellement

XIIe XVIe siècle : Epoque de la farouche polémique qui opposera en Europe les Abacistes (tenants du calcul au moyen de jetons sur l’abaque à colonnes et enfermés dans une routine imprégnée de numérations archaïques telles que les chiffres romains ou les lettres numérales grecques) aux Algoristes défenseurs de la pratique du calcul écrit au moyen du zéro et des chiffres d’origine indienne.

XVe - XVIe siècle : Généralisation progressive des méthodes de calcul au moyen des chiffres « arabes » et du zéro ; c’est alors le triomphe des Algoristes et le début de la défaite des Abacistes en Europe. Le calcul sur l’abaque à jetons continuera néanmoins à être pratiqué par les commerçants, les financiers, les banquiers et les argentiers, et il faudra attendre l’époque de la Révolution française pour assister à l’abolition définitive de ces méthodes archaïques ; l’usage de l’abaque fut dès lors interdit dans les écoles et les administrations.

Evolution des quatre opérations

depuis l’an mil

A) ADDITION

C’est la technique de l’addition qui s’est stabilisée le plus vite et n’a pratiquement pas évolué depuis le XIIème siècle.
An mil : sur l’abaque de Gerbert de gauche à droite.
A partir du XIIIe : technique usuelle
Exemples : 76 + 7 + 272 + 89 +160

1) Méthode en usage au XVIème siècle en Allemagne :
(ce procédé visent à éviter les retenues ou du moins à les repousser)

2) Méthode citée par Baha EDDIN (auteur syrien 1547-1622)
Les nombres sont placés dans un tableau, héritage des calculs sur abaque. Les additions sont effectuées colonne par colonne en commençant par la gauche. L’opérateur au fur et à mesure des calculs, efface les résultats partiels si le travail se fait sur ardoise, ou procède à des ratures comme ci-contre, si le travail se fait à la plume.

3) Le procédé actuellement en vigueur, dont l’origine arabe ne semble pas faire de doute, a été adopté par Maximes PLANUDES (écrivain byzantin 1260-1310). Dans la marge on indiquait la preuve par 9 de l’opération. La seule différence avec notre méthode était que la somme était écrite en haut du tableau.

SOUSTRACTION

La soustraction a pris sa forme définitive vers le XVIème siècle, mais différentes méthodes ont subsisté en même temps.
Exemples : 6459 - 2872

Méthode arabe : nombres placés dans une grille ; les calculs se font en commençant par la gauche ou par la droite colonne par colonne sans tenir compte des retenues. Dans un deuxième temps, on obtient le résultat en tenant compte de ces retenues. Cette disposition est un héritage des abaques.

Méthode moyenâgeuse [Ramus (1515-1572) mathématicien et philosophe français] Le calcul se fait en commençant par la gauche.

Note du site: 1515, Moyen Age??????????? Hum Hum!

Méthode classique (Fibonacci (1175-1240) mathématicien italien dont le vrai nom est Léonard de Pise) C’est notre méthode mais le résultat est écrit juste de la ligne alors que la preuve apparaît sur la première ligne.

MULTIPLICATION

La technique de cette opération connut de très nombreuses méthodes. Mais, hormis la méthode égyptienne et la méthode russe, qui sont d’une très grande originalité, toutes les autres sont des variantes de notre méthode classique.

Exemples :
Méthode de l’abaque(Gerbert)
Dès le Xème siècle, les jetons de calcul sur abaque sont remplacés par des jetons marqués des chiffres 1,2,…,9 ; le zéro n’était pas connu en France (découvert au VIème siècle en Inde, les arabes l’ont utilisé dès le VIIIème siècle).
La combinaison de ce matériel et de la table de multiplication a donné une méthode assez longue, mais qui marque un certains progrès.
4608 x 369 = 1 700 352

Méthode indienne
Encore en usage en Inde au XIXème siècle, cette méthode était connue des arabes au XIIIème siècle.
754 x 39 = 29 406

Méthode « per gelosia »
(ce mot désignait le treillis de bois ou de fer qui permet de voir de l’intérieur sans être vu)

Cette méthode, dont on peut traduire le qualificatif par "par jalousie", est aussi appelée méthode arabe. C’est une très vieille méthode déjà signalée au XIIème siècle en Inde. Dès le XVème siècle, elle présente déjà un aspect historique et devient une curiosité au XVIIIème siècle.
4608 x 369 = 1 700 352

La méthode « per gelosia » fut reprise avec les baguettes de NEPER (1550-1617).

Méthode « per scachieri » (par quadrillage ou par échiquier)
Il s’agit de notre méthode classique dénommée « per scachieri » par les auteurs italiens car elle était le plus souvent présentée dans un quadrillage (un échiquier).
Cette méthode était connue au XVème siècle. Mais il semble qu’elle soit plus antérieure encore car on la retrouve sous une forme équivalente en Inde dès le XIIème siècle.
4608 x 369 = 1 700 352

Tables de multiplication :
En Europe, les tables de multiplication prenaient différentes formes.

Une forme linéaire classique : on a trouvé des tables de multiplications jusqu’à 100 x 100 et parfois davantage. Elles étaient utilisées par les commerçants.

Une forme carrée appelée à tort table de Pythagore.

Au Moyen-Age, la table de multiplication n’était apprise que jusqu’à 5 x 5. On employait alors un moyen ingénieux appelé « regula pigri » (règle du paresseux) ou multiplication digitale.
Par exemple pour trouver le produit 7 x 8 on procédait de la manière suivante :
On lève 2 doigts d’une main (7-5) et 3 doigts de l’autre (8-5). On a donc 3 doigts baissés dans une main et 2 doigts baissés dans l’autre.
Le nombre d’unités de 7x8 est égal au produit des nombres de doigts baissés : 3 x 2 soit 6.
Le nombre de dizaines de 7x8 est égale à la somme des doigts levés : 2 + 3 = 5 (il faut reporter la retenue du produit le cas échéant)
D’où 7 x 8 = 56

Preuve de la multiplication :
La preuve par 9 de la multiplication dont l’origine est inconnue, était déjà employée dès le IXème siècle par les arabes. Les mathématiciens à partir de cette époque sont friands de preuves. Mais la preuve par 9 n’était pas la seule employée. On utilisait aussi la preuve par 7, par 8 et par 11.

DIVISION

Des quatre opérations, la division est de loin la plus complexe - on l’appelait autrefois l’épine de l’arithmétique - et c’est celle qui a mis le plus de temps à prendre la forme définitive que l’on connaît. D’ailleurs, au Moyen-Age, seules quelques universités l’enseignaient.

QUELQUES ASPECTS HISTORIQUES

Evolution des quatre opérations

depuis l’an mil

SOUSTRACTION

MULTIPLICATION

DIVISION